$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ のとき、次の値を求める問題です。 (1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$ (2) $\alpha + \beta + \gamma$

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ のとき、次の値を求める問題です。

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$

2. 解き方の手順

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$ を求める

まず、$\tan (\alpha + \beta)$ を求めます。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

次に、$\tan ((\alpha + \beta) + \gamma)$ を求めます。

$\tan ((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan (\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan (\alpha + \beta) \tan \gamma} = \frac{-3 + 3}{1 - (-3) \cdot 3} = \frac{0}{1 + 9} = \frac{0}{10} = 0$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$ を求める

$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$ であることから、$\alpha + \beta + \gamma = n\pi$ （$n$は整数）となります。

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であることから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ が成り立ちます。

したがって、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$ です。

$\tan \alpha = 1$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$。

$\tan \beta = 2 > 1$ より、$\frac{\pi}{4} < \beta < \frac{\pi}{2}$。

$\tan \gamma = 3 > 1$ より、$\frac{\pi}{4} < \gamma < \frac{\pi}{2}$。

$\tan(\alpha + \beta) = -3 < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi$。

$\alpha + \beta + \gamma$ の値の範囲は、$\frac{\pi}{2} + 0 < \alpha + \beta + \gamma < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$。

$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$ となるのは、$\alpha + \beta + \gamma = \pi$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$

(2) $\alpha + \beta + \gamma = \pi$