$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$ (2) $\alpha + \beta + \gamma$

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$

2. 解き方の手順

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma)$ を求める。まず、$\tan (\alpha + \beta)$ を加法定理を用いて計算する。

$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$$

次に、$\tan ((\alpha + \beta) + \gamma)$ を加法定理を用いて計算する。

$$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = \tan ((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan (\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan (\alpha + \beta) \tan \gamma} = \frac{-3 + 3}{1 - (-3) \cdot 3} = \frac{0}{1 + 9} = \frac{0}{10} = 0$$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$ を求める。$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$ であるから、$\alpha + \beta + \gamma = n\pi$ (nは整数) である。

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。よって、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$ である。

$\tan \alpha = 1$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ である。

$\tan \beta = 2 > 0$ より、$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ である。

$\tan \gamma = 3 > 0$ より、$0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ である。

$\tan (\alpha + \beta) = -3 < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi$ である。

また、$\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$ より、$\alpha + \beta + \gamma = \pi$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\tan (\alpha + \beta + \gamma) = 0$

(2) $\alpha + \beta + \gamma = \pi$