与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に対して、$x_1$ と $x_2$ がそれぞれ $A$ の固有ベクトルであることを確認し、それぞれの固有ベクトルに対応する固有値を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に対して、$x_1$ と $x_2$ がそれぞれ $A$ の固有ベクトルであることを確認し、それぞれの固有ベクトルに対応する固有値を求める。

2. 解き方の手順

固有ベクトルは、ある行列 $A$ に対して、$Ax = \lambda x$ を満たすベクトル $x$ である。ここで、$\lambda$ は固有値である。

まず、$x_1$ が $A$ の固有ベクトルであることを確認する。

$Ax_1$ を計算する。

$Ax_1 = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 2 + 2 \times 1 \\ 1 \times 2 + 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 2 \\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

$Ax_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 5 x_1$

したがって、$x_1$ は $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda_1 = 5$ である。

次に、$x_2$ が $A$ の固有ベクトルであることを確認する。

$Ax_2$ を計算する。

$Ax_2 = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 1 + 2 \times (-1) \\ 1 \times 1 + 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

$Ax_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 x_2$

したがって、$x_2$ は $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda_2 = 2$ である。

3. 最終的な答え

$x_1$ は $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda_1 = 5$ である。

$x_2$ は $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda_2 = 2$ である。