$ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{bmatrix} $

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた二つの連立同次方程式の解が存在するかどうかを判定し、存在する場合は解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答える問題です。解が存在する場合、行列の階数に触れた上で、解の自由度（解表現に必要な任意定数の個数）を明記する必要があります。

(1)

$ \begin{cases}

2x_1 - x_2 + 9x_3 = 0 \\

-x_1 + x_2 - 3x_3 = 0 \\

x_1 - 3x_2 - 3x_3 = 0

\end{cases} $

(2)

$ \begin{cases}

x_1 - 4x_2 + 3x_3 + 4x_4 - 3x_5 = 0 \\

x_1 - 2x_2 + x_4 - 2x_5 = 0 \\

-x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 + 4x_5 = 0

\end{cases} $

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2. 解き方の手順

**(1) の場合**

1. 係数行列を作成する。

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{bmatrix}$

2. 係数行列を簡約化する。

* 1行目を2倍して2行目に足す

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1/2 & 3/2 \\ 1 & -3 & -3 \end{bmatrix}$

* 1行目を2倍して3行目から引く

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & -5 & -15 \end{bmatrix}$

* 2行目を2倍する

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -5 & -15 \end{bmatrix}$

* 2行目を5倍して3行目に足す

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

* 2行目を1倍して1行目に足す

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

* 1行目を1/2倍する

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 簡約化された行列から解を求める。

$ \begin{cases}

x_1 + 6x_3 = 0 \\

x_2 + 3x_3 = 0

\end{cases} $

したがって、$x_1 = -6x_3$、$x_2 = -3x_3$。$x_3 = t$ とすると、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -6 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$

ランクは2で、自由度は1です。

**(2) の場合**

1. 係数行列を作成する。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

2. 係数行列を簡約化する。

* 2行目から1行目を引く

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

* 3行目に1行目を足す

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

* 3行目に2行目を足す

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

* 3行目を1/2倍する

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

* 3行目を3倍して2行目に足す

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

* 3行目を-3倍して1行目に足す

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 1 & -6 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

* 2行目を1/2倍する

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 1 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

* 2行目を4倍して1行目に足す

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 簡約化された行列から解を求める。

$ \begin{cases}

x_1 + x_4 + 2x_5 = 0 \\

x_2 + 2x_5 = 0 \\

x_3 + x_4 + x_5 = 0

\end{cases} $

したがって、$x_1 = -x_4 - 2x_5$、$x_2 = -2x_5$、$x_3 = -x_4 - x_5$。$x_4 = s$、$x_5 = t$ とすると、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

ランクは3で、自由度は2です。

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3. 最終的な答え

**(1) の答え**

解は存在し、$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -6 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$。ランクは2、自由度は1です。

**(2) の答え**

解は存在し、$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。ランクは3、自由度は2です。