問題2：グラム・シュミットの正規直交化を用いて、$\mathbb{R}^3$ の次の基底を正規直交化せよ。 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ 問題3： (1) $P$を実正方行列とし、$E$を単位行列とする。次の同値を示せ。 ${}^tPP=E \Leftrightarrow {}^tP = P^{-1}$ (2) 実正方行列が直交行列ならば行列式は $1$ または $-1$ であるが、この逆は成り立つか。成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は反例を挙げよ。ただし、反例をあげる場合はその理由も詳細に述べること。 (3) $n$次の実正方行列を $A = (a_1\ a_2\ \cdots\ a_n)$ と列ベクトル表示したとき、次の同値を示せ。 $A$：直交行列 $\Leftrightarrow \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底

1. 問題の内容

問題2：グラム・シュミットの正規直交化を用いて、$\mathbb{R}^3$ の次の基底を正規直交化せよ。

$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

問題3：

(1) $P$を実正方行列とし、$E$を単位行列とする。次の同値を示せ。

${}^tPP=E \Leftrightarrow {}^tP = P^{-1}$

(2) 実正方行列が直交行列ならば行列式は $1$ または $-1$ であるが、この逆は成り立つか。成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は反例を挙げよ。ただし、反例をあげる場合はその理由も詳細に述べること。

(3) $n$次の実正方行列を $A = (a_1\ a_2\ \cdots\ a_n)$ と列ベクトル表示したとき、次の同値を示せ。

$A$：直交行列 $\Leftrightarrow \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底

2. 解き方の手順

問題2：グラム・シュミットの正規直交化

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ とする。

まず、最初のベクトル $w_1$ は $v_1$ と同じ向きに取る。

$w_1 = v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、$w_2$ を $v_2$ から $w_1$ への正射影成分を引いたものとして定義する。

$w_2 = v_2 - \frac{v_2 \cdot w_1}{w_1 \cdot w_1} w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}$

$w_2 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、$w_3$ を $v_3$ から $w_1$ と $w_2$ への正射影成分を引いたものとして定義する。

$w_3 = v_3 - \frac{v_3 \cdot w_1}{w_1 \cdot w_1} w_1 - \frac{v_3 \cdot w_2}{w_2 \cdot w_2} w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{-3/3}{6/9} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix}$

$w_3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

最後に、各ベクトルを正規化する。

$u_1 = \frac{w_1}{||w_1||} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$u_2 = \frac{w_2}{||w_2||} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$u_3 = \frac{w_3}{||w_3||} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

問題3(1)：${}^tPP=E \Leftrightarrow {}^tP = P^{-1}$の証明

${}^tPP = E$ のとき、両辺に $P^{-1}$ を右からかけると、${}^tPPP^{-1} = EP^{-1}$ より、${}^tPE = P^{-1}$ となり、${}^tP = P^{-1}$ が成り立つ。

逆に、${}^tP = P^{-1}$ のとき、両辺に $P$ を右からかけると、${}^tPP = P^{-1}P$ より、${}^tPP = E$ が成り立つ。

したがって、${}^tPP=E \Leftrightarrow {}^tP = P^{-1}$ が示された。

問題3(2)：反例

実正方行列 $A$ が直交行列であるとき、${}^tAA = E$ が成り立つので、$\det({}^tAA) = \det(E) = 1$。

$\det({}^tA)\det(A) = 1$ であり、$\det({}^tA) = \det(A)$ より、$(\det(A))^2 = 1$ となる。

したがって、$\det(A) = 1$ または $\det(A) = -1$ となる。

逆は成り立たない。

例えば、$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$ を考える。

$\det(A) = 1$ であるが、${}^tAA = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix} \neq E$ なので、$A$ は直交行列ではない。

理由：直交行列であるためには、各列ベクトルが互いに直交し、かつ大きさが 1 でなければならないが、$A$ の第一列ベクトルの大きさは 2 であり、1 ではない。

問題3(3): $A$：直交行列 $\Leftrightarrow \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底 の証明

$A$ が直交行列であるとき、${}^tAA = E$ が成り立つ。

これは、$A$ の列ベクトル $a_i$ と $a_j$ の内積が、

$a_i \cdot a_j = \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\neq j) \end{cases}$

であることを意味する。

したがって、$A$ の列ベクトル $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ は、互いに直交し、かつ大きさが 1 である。

つまり、$\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ は $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底である。

逆に、$\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底であるとき、$A$ の列ベクトル $a_i$ と $a_j$ の内積は、

$a_i \cdot a_j = \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\neq j) \end{cases}$

を満たす。

これは、${}^tAA = E$ であることを意味する。

したがって、$A$ は直交行列である。

3. 最終的な答え

問題2：正規直交基底は

$\left\{ \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

問題3(1)：${}^tPP=E \Leftrightarrow {}^tP = P^{-1}$

問題3(2)：実正方行列 $A$ が直交行列ならば $\det(A) = 1$ または $\det(A) = -1$ は成り立つ。しかし、その逆は成り立たない。

反例：$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 1$ だが、Aは直交行列ではない。

問題3(3): $A$：直交行列 $\Leftrightarrow \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ が $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底