与えられた3つの式を簡単にします。 (1) $(\sqrt[5]{4})^5$ (2) $\sqrt[3]{2^2 \sqrt[3]{2}}$ (3) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{27}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にします。

(1) $(\sqrt[5]{4})^5$

(2) $\sqrt[3]{2^2 \sqrt[3]{2}}$

(3) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{27}}$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt[5]{4})^5$

$n$乗根の定義より、 $(\sqrt[n]{a})^n = a$ であるから、

$(\sqrt[5]{4})^5 = 4$

(2) $\sqrt[3]{2^2 \sqrt[3]{2}}$

$\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$であるから、

$\sqrt[3]{2^2 \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

$=\sqrt[3]{2^{2 + \frac{1}{3}}}$

$=\sqrt[3]{2^{\frac{7}{3}}}$

$=(2^{\frac{7}{3}})^{\frac{1}{3}}$

$=2^{\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}}$

$=2^{\frac{7}{9}}$

$=\sqrt[9]{2^7}$

$=\sqrt[9]{128}$

(3) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{27}}$

まず、$27=3^3$であるから、$\sqrt[3]{27}=3$

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[4]{3}$

$=3^{\frac{1}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\sqrt[9]{128}$

(3) $\sqrt[4]{3}$