(10) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$ とします。 (11) 次の2つの式を計算する問題です。 ① $5^3 \times (5^{-1})^2 \div 5$ ② $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 3^{\frac{5}{6}}$ (12) 次の方程式と不等式を解く問題です。 ① $(\frac{1}{8})^x = 16$ ② $2^x < 16$

1. 問題の内容

(10) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$ とします。

(11) 次の2つの式を計算する問題です。

① $5^3 \times (5^{-1})^2 \div 5$

② $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 3^{\frac{5}{6}}$

(12) 次の方程式と不等式を解く問題です。

① $(\frac{1}{8})^x = 16$

② $2^x < 16$

2. 解き方の手順

(10) 三角関数の合成を行います。

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

したがって、$r\cos\alpha = 1$、 $r\sin\alpha = -\sqrt{3}$。

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = 1^2 + (-\sqrt{3})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 3 = 4$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$

$r\cos\alpha = 1$ より $\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$r\sin\alpha = -\sqrt{3}$ より $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$

(11)

① $5^3 \times (5^{-1})^2 \div 5 = 5^3 \times 5^{-2} \div 5^1 = 5^{3 - 2 - 1} = 5^0 = 1$

② $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 3^{\frac{5}{6}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - \frac{5}{6}} = 3^{\frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{5}{6}} = 3^{\frac{6}{6}} = 3^1 = 3$

(12)

① $(\frac{1}{8})^x = 16$

$(2^{-3})^x = 2^4$

$2^{-3x} = 2^4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

② $2^x < 16$

$2^x < 2^4$

$x < 4$

3. 最終的な答え

(10) $2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

(11) ① 1 ② 3

(12) ① $x = -\frac{4}{3}$ ② $x < 4$