## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた複数の数式を展開する問題です。それぞれの数式を順番に展開し、整理していく必要があります。具体的には、以下の9個の式を展開します。

(1) $2x^2(x^2-3x+1)$

(2) $(2x^2-6xy-4y^2) \times (-\frac{1}{2}xy)$

(3) $(3x-y)(x^2+xy+y^2)$

(4) $(3x^2-4)(2x+5)$

(5) $(a^2-2a-2)(a+3)$

(6) $(a+2)^2$

(7) $(5x-2y)^2$

(8) $(2x-3)(2x+3)$

(9) $(x-4)(x+2)$

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2. 解き方の手順

それぞれの式に対して、分配法則や展開公式を用いて展開し、同類項をまとめて整理します。

(1) $2x^2(x^2-3x+1)$

分配法則を用いて展開します。

$2x^2 \times x^2 - 2x^2 \times 3x + 2x^2 \times 1 = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2$

(2) $(2x^2-6xy-4y^2) \times (-\frac{1}{2}xy)$

分配法則を用いて展開します。

$2x^2 \times (-\frac{1}{2}xy) - 6xy \times (-\frac{1}{2}xy) - 4y^2 \times (-\frac{1}{2}xy) = -x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3$

(3) $(3x-y)(x^2+xy+y^2)$

分配法則を用いて展開します。

$3x \times (x^2+xy+y^2) - y \times (x^2+xy+y^2) = 3x^3 + 3x^2y + 3xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = 3x^3 + 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

(4) $(3x^2-4)(2x+5)$

分配法則を用いて展開します。

$3x^2 \times (2x+5) - 4 \times (2x+5) = 6x^3 + 15x^2 - 8x - 20$

(5) $(a^2-2a-2)(a+3)$

分配法則を用いて展開します。

$a^2 \times (a+3) - 2a \times (a+3) - 2 \times (a+3) = a^3 + 3a^2 - 2a^2 - 6a - 2a - 6 = a^3 + a^2 - 8a - 6$

(6) $(a+2)^2$

展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用いて展開します。

$a^2 + 2 \times a \times 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4$

(7) $(5x-2y)^2$

展開公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を用いて展開します。

$(5x)^2 - 2 \times 5x \times 2y + (2y)^2 = 25x^2 - 20xy + 4y^2$

(8) $(2x-3)(2x+3)$

展開公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を用いて展開します。

$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

(9) $(x-4)(x+2)$

分配法則を用いて展開します。

$x \times (x+2) - 4 \times (x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$

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3. 最終的な答え

(1) $2x^4 - 6x^3 + 2x^2$

(2) $-x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3$

(3) $3x^3 + 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

(4) $6x^3 + 15x^2 - 8x - 20$

(5) $a^3 + a^2 - 8a - 6$

(6) $a^2 + 4a + 4$

(7) $25x^2 - 20xy + 4y^2$

(8) $4x^2 - 9$

(9) $x^2 - 2x - 8$