円の方程式 $x^2 + y^2 + 10x - 16y + 40 = 0$ の中心の座標と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

円の方程式 $x^2 + y^2 + 10x - 16y + 40 = 0$ の中心の座標と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形します。

ここで、$(a, b)$ が円の中心の座標であり、$r$ が半径です。

まず、$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめて平方完成を行います。

$x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25$

$y^2 - 16y = (y - 8)^2 - 64$

これらを元の方程式に代入します。

$(x + 5)^2 - 25 + (y - 8)^2 - 64 + 40 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 8)^2 - 25 - 64 + 40 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 8)^2 - 49 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 49$

したがって、円の中心の座標は $(-5, 8)$ であり、半径は $\sqrt{49} = 7$ です。

3. 最終的な答え

中心の座標: $(-5, 8)$

半径: $7$