与えられた3つの重積分を計算する問題です。 (1) $\iint_D \frac{x^2}{1+y^2} dxdy$, $D: 0 \le x \le 1, -1 \le y \le 1$ (2) $\iint_D xy dxdy$, $D: |x| + |y| \le 1$ (3) $\iint_D e^{-(x+y)} dxdy$, $D: 0 \le y \le 2x, 0 \le x$

1. 問題の内容

与えられた3つの重積分を計算する問題です。

(1) $\iint_D \frac{x^2}{1+y^2} dxdy$, $D: 0 \le x \le 1, -1 \le y \le 1$

(2) $\iint_D xy dxdy$, $D: |x| + |y| \le 1$

(3) $\iint_D e^{-(x+y)} dxdy$, $D: 0 \le y \le 2x, 0 \le x$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y$について積分し、次に$x$について積分します。

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+y^2} dy = x^2 \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+y^2} dy = x^2 [\arctan(y)]_{-1}^{1} = x^2(\arctan(1) - \arctan(-1)) = x^2 (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = x^2 \frac{\pi}{2}$

$\int_0^1 x^2 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^1 x^2 dx = \frac{\pi}{2} [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{\pi}{2} (\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{6}$

(2)

$D$は $|x|+|y| \le 1$で与えられた領域です。この領域は、4つの線形不等式$x+y \le 1$, $x-y \le 1$, $-x+y \le 1$, $-x-y \le 1$で囲まれたひし形です。

この領域は$x$と$y$について対称なので、$xy$の積分は0になります。

$\iint_D xy dxdy = 0$

(3)

$0 \le y \le 2x$と$0 \le x$で与えられた積分領域は、直線$y=2x$と$x$軸で囲まれた領域です。積分範囲を決定するために、$y \le 2x$を$x \ge \frac{y}{2}$と書き換え、$x$の範囲を$\frac{y}{2} \le x$とします。$x$の上限を指定する必要があるので、$y=2x$は$x = \frac{y}{2}$になるので、$x$の範囲を定められないため、$x,y$の積分範囲を決定します。

$y=2x$と仮定すると、$0 \le y \le 2x$で、$x$は$0$から$x$に動くので、yの上限は$2x$です。

積分領域は、$0 \le y \le 2x$ および $0 \le x$ です。$x$の範囲を定めるために、$y$を固定して、$x$で積分し、その後$y$で積分します。

$y=2x$より、$x = \frac{y}{2}$。$y$は$0$から変化するので、x軸との交点は、$0$です。上限は任意であるため、上限を仮定します。

領域$D$は、$0 \le y \le 2x$ と $0 \le x$ で定義されています。

$0 \le y \le 2x$を変形すると$\frac{y}{2} \le x$となります。したがって、$x$の積分範囲は$[\frac{y}{2}, A]$となります。$y$の積分範囲は$[0,2A]$となります。ここでAは、積分領域の$x$の上限です。$y$の積分範囲を0から無限大まで積分すると発散するので、問題に誤りがあるか、上限が指定されている必要があります。上限がない場合は、仮に積分範囲を$0 \le y \le 2$とします。このとき、$x$は$y/2$から$1$まで動くので、

$\int_0^2 \int_{y/2}^{1} e^{-(x+y)} dx dy = \int_0^2 e^{-y} \int_{y/2}^1 e^{-x} dx dy = \int_0^2 e^{-y} [-e^{-x}]_{y/2}^1 dy = \int_0^2 e^{-y}(-e^{-1} + e^{-y/2}) dy = \int_0^2 (-e^{-(y+1)} + e^{-3y/2}) dy = [e^{-(y+1)} - \frac{2}{3} e^{-3y/2}]_0^2 = e^{-3} - \frac{2}{3} e^{-3} - (e^{-1} - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} e^{-3} - e^{-1} + \frac{2}{3}$

問題文から$x$の積分範囲に上限がないので、積分領域は無限に広がっていて積分が発散する可能性が高いです。$0 \le x \le A$という条件を追加して計算してみます。

$\int_0^{2A} \int_{y/2}^A e^{-(x+y)} dx dy = \int_0^{2A} e^{-y} \int_{y/2}^A e^{-x} dx dy = \int_0^{2A} e^{-y} [-e^{-x}]_{y/2}^A dy = \int_0^{2A} e^{-y} (-e^{-A} + e^{-y/2}) dy = \int_0^{2A} (-e^{-(A+y)} + e^{-3y/2}) dy = [e^{-(A+y)} - \frac{2}{3} e^{-3y/2}]_0^{2A} = e^{-(A+2A)} - \frac{2}{3} e^{-3(2A)/2} - (e^{-A} - \frac{2}{3}) = e^{-3A} - \frac{2}{3} e^{-3A} - e^{-A} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} e^{-3A} - e^{-A} + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $0$

(3) 積分領域に$x$の上限がないため、積分は発散するか、または$x$の上限に依存します。$0 \le x \le A$という条件を加えると、最終的な答えは$\frac{1}{3} e^{-3A} - e^{-A} + \frac{2}{3}$となります。