次の極限を求め、収束するか発散するかを調べます。 (1) $\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5)$ (2) $\lim_{x \to \infty} (6 + x - x^2)$ (3) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$ (4) $\lim_{x \to -2} \frac{2}{(x+2)^2}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 2^{-x}}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \sin \frac{x}{2}$

1. 問題の内容

次の極限を求め、収束するか発散するかを調べます。

(1) $\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5)$

(2) $\lim_{x \to \infty} (6 + x - x^2)$

(3) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$

(4) $\lim_{x \to -2} \frac{2}{(x+2)^2}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 2^{-x}}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \sin \frac{x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to \infty$ のとき、$2x^3$が支配的になるので、$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \to \infty$ となります。

(2) $x \to \infty$ のとき、$-x^2$が支配的になるので、$6 + x - x^2 \to -\infty$ となります。

(3) $x \to -\infty$ のとき、$2^x \to 0$ となります。

(4) $x \to -2$ のとき、$(x+2)^2 \to 0$ となります。したがって、$\frac{2}{(x+2)^2} \to \infty$ となります。

(5) $x \to \infty$ のとき、$2^{-x} \to 0$ となります。したがって、$\frac{1}{1 + 2^{-x}} \to \frac{1}{1+0} = 1$ となります。

(6) $x \to \infty$ のとき、$\frac{x}{2}$ も $\infty$ に発散します。$\sin$関数は振動するので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 発散（$\infty$）

(2) 発散（$-\infty$）

(3) 収束（0）

(4) 発散（$\infty$）

(5) 収束（1）

(6) 発散