$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1+\sqrt{2} + \sqrt{3}$ を $(1+\sqrt{2}) + \sqrt{3}$ と見て、$(\sqrt{2}+1) - \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$

分子は $(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}$ となります。分母は、和と差の積の公式を使って展開します。

$\frac{(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3}$

$\frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{2} - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、分母の有理化のために、分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}$