問題は、順列・組み合わせに関する複数の小問から構成されています。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る方法の総数を求める。 (2) 上記の条件で、偶数を作る方法の総数を求める。 (3) 男子2人(a, b)と女子4人(A, B, C, D)が1列に並ぶとき、両端が男子である並び方の総数を求める。 (4) 上記の条件で、aとAが隣り合う並び方の総数を求める。 (5) 父、母、子供3人の5人家族が円卓に座る際の並び方の総数を求める。 (6) 上記の条件で、両親が隣り合って座る並び方の総数を求める。 (7) 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ方法の総数を求める。 (8) 男子から2人、女子から2人を選ぶ方法の総数を求める。 (9) 男子から少なくとも1人を選ぶ方法の総数を求める。 (10) 6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法の総数を求める。 (11) 10人の生徒を5人ずつの2組に分けるとき、特定の2人が同じ組にならないような分け方の総数を求める。

1. 問題の内容

問題は、順列・組み合わせに関する複数の小問から構成されています。

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から3個を選んで3桁の自然数を作る方法の総数を求める。

(2) 上記の条件で、偶数を作る方法の総数を求める。

(3) 男子2人(a, b)と女子4人(A, B, C, D)が1列に並ぶとき、両端が男子である並び方の総数を求める。

(4) 上記の条件で、aとAが隣り合う並び方の総数を求める。

(5) 父、母、子供3人の5人家族が円卓に座る際の並び方の総数を求める。

(6) 上記の条件で、両親が隣り合って座る並び方の総数を求める。

(7) 男子5人、女子5人の中から4人の委員を選ぶ方法の総数を求める。

(8) 男子から2人、女子から2人を選ぶ方法の総数を求める。

(9) 男子から少なくとも1人を選ぶ方法の総数を求める。

(10) 6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法の総数を求める。

(11) 10人の生徒を5人ずつの2組に分けるとき、特定の2人が同じ組にならないような分け方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数を作るので、百の位は0以外。

百の位の選び方は5通り。

十の位は残りの5通り。

一の位は残りの4通り。

よって、$5 \times 5 \times 4 = 100$通り。

(2) 偶数となるのは、一の位が0, 2, 4のいずれか。

一の位が0の場合：百の位は5通り、十の位は4通り。よって、$5 \times 4 = 20$通り。

一の位が2または4の場合：百の位は0以外の4通り、十の位は4通り。よって、$2 \times 4 \times 4 = 32$通り。

合計で、$20 + 32 = 52$通り。

(3) 両端が男子なので、まず両端の並び方は、$2 \times 1 = 2$通り。

残りの4人の並び方は$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

よって、$2 \times 24 = 48$通り。

(4) aとAをひとまとめにして、1つの要素とみなす。

5つの要素の並び方は$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

aとAの並び方はaAまたはAaの2通り。

よって、$120 \times 2 = 240$通り。

(5) 円順列なので、$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

(6) 両親をひとまとめにして、1つの要素とみなす。

4つの要素の円順列は$(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

両親の並び方は2通り。

よって、$6 \times 2 = 12$通り。

(7) 10人から4人を選ぶので、${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$通り。

(8) 男子5人から2人選ぶのは${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

女子5人から2人選ぶのは${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

よって、$10 \times 10 = 100$通り。

(9) 4人の委員を選ぶとき、少なくとも1人男子を選ぶのは、全員女子を選ぶ場合以外。

全員女子を選ぶのは${}_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$通り。

選ぶ方法の総数は${}_{10}C_4 = 210$通り(問題7)。

よって、$210 - 5 = 205$通り。

(10) 6人から3人を選ぶのは${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

ただし、2組に分けるので、同じ組み合わせが2回数えられているため、$20/2 = 10$通り。

(11) 10人から5人を選ぶのは${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$通り。

特定の2人が同じ組になる場合を考える。まずその2人を確定させ、残りの3人を8人から選ぶことを考えると、

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

よって、$252 - 56 = 196$通り。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 48通り

(4) 240通り

(5) 24通り

(6) 12通り

(7) 210通り

(8) 100通り

(9) 205通り

(10) 10通り

(11) 196通り