6つの文字 a, a, b, c, d, e について、以下の2つの問いに答えます。 (1) これら6つの文字を横一列に並べる並べ方は何通りあるか。 (2) これら6つの文字を2個1組にして3組に分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの文字 a, a, b, c, d, e について、以下の2つの問いに答えます。

(1) これら6つの文字を横一列に並べる並べ方は何通りあるか。

(2) これら6つの文字を2個1組にして3組に分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 横一列に並べる並べ方：

6つの文字の中に同じ文字aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

6つの文字を並べる順列は $6!$ 通りですが、aが2つあるので、同じ並び方が $2!$ 通り重複して数えられています。したがって、求める並べ方は

$\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

(2) 2個1組にして3組に分ける方法：

まず、6つの文字から2つを選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通りです。

次に、残った4つの文字から2つを選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通りです。

最後に、残った2つの文字から2つを選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

したがって、2個ずつの組に分ける組み合わせは $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ 通りですが、組に区別はないので、3つの組の並び方である $3!$ で割る必要があります。

よって、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 360通り

(2) 15通り