与えられたベクトル $\vec{a} = \vec{e}_x - 3\vec{e}_y + \vec{e}_z$ と $\vec{b} = 2\vec{e}_x + \vec{e}_y - 2\vec{e}_z$ に対して、以下の計算をせよ。 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ (2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ (3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a} = \vec{e}_x - 3\vec{e}_y + \vec{e}_z$ と $\vec{b} = 2\vec{e}_x + \vec{e}_y - 2\vec{e}_z$ に対して、以下の計算をせよ。

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$

(2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの外積の定義に従って計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\

1 & -3 & 1 \\

2 & 1 & -2

\end{vmatrix} = ((-3)(-2) - (1)(1))\vec{e}_x - ((1)(-2) - (1)(2))\vec{e}_y + ((1)(1) - (-3)(2))\vec{e}_z$

(2) まず、$2\vec{a} + \vec{b}$を計算する。

$2\vec{a} + \vec{b} = 2(\vec{e}_x - 3\vec{e}_y + \vec{e}_z) + (2\vec{e}_x + \vec{e}_y - 2\vec{e}_z) = (2+2)\vec{e}_x + (-6+1)\vec{e}_y + (2-2)\vec{e}_z = 4\vec{e}_x - 5\vec{e}_y$

次に、$\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b})$ を計算する。

$\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b}) = (2\vec{e}_x + \vec{e}_y - 2\vec{e}_z) \times (4\vec{e}_x - 5\vec{e}_y) =

\begin{vmatrix}

\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\

2 & 1 & -2 \\

4 & -5 & 0

\end{vmatrix} = ((1)(0) - (-2)(-5))\vec{e}_x - ((2)(0) - (-2)(4))\vec{e}_y + ((2)(-5) - (1)(4))\vec{e}_z = -10\vec{e}_x - 8\vec{e}_y - 14\vec{e}_z$

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{0} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{0} = -2(\vec{a} \times \vec{b})$.

(1) の結果を用いて、$-2(\vec{a} \times \vec{b})$を計算する。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{e}_x + 4\vec{e}_y + 7\vec{e}_z$

(2) $\vec{b} \times (2\vec{a} + \vec{b}) = -10\vec{e}_x - 8\vec{e}_y - 14\vec{e}_z$

(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = -10\vec{e}_x - 8\vec{e}_y - 14\vec{e}_z$