底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを、底面に平行な面で切断し、円錐Qと、PからQを取り除いた立体Aを作る。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを、底面に平行な面で切断し、円錐Qと、PからQを取り除いた立体Aを作る。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐Pの体積を求める。円錐の体積の公式は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$である。ここで、$r$は底面の半径、$h$は高さである。

円錐Pの場合、$r = 8$ cm、$h = 12$ cmなので、

$V_P = \frac{1}{3} \pi (8^2)(12) = \frac{1}{3} \pi (64)(12) = 256 \pi$ 立方センチメートル。

次に、円錐Qの高さを求める。円錐PとQの高さの比が4:3なので、円錐Qの高さは$12 \times \frac{3}{4} = 9$ cm。

次に、円錐Qの底面の半径を求める。円錐PとQは相似であり、高さの比が4:3なので、底面の半径の比も4:3である。したがって、円錐Qの底面の半径は$8 \times \frac{3}{4} = 6$ cm。

次に、円錐Qの体積を求める。$r = 6$ cm、$h = 9$ cmなので、

$V_Q = \frac{1}{3} \pi (6^2)(9) = \frac{1}{3} \pi (36)(9) = 108 \pi$ 立方センチメートル。

最後に、立体Aの体積を求める。立体Aの体積は、円錐Pの体積から円錐Qの体積を引いたものなので、

$V_A = V_P - V_Q = 256 \pi - 108 \pi = 148 \pi$ 立方センチメートル。

3. 最終的な答え

$148 \pi$ 立方センチメートル