バドミントンのスマッシュの練習をしているAさんが、ネットから4m離れた位置から打ったシャトルがネットに当たってしまった。打点Pの高さが2.55m、ネットの高さが0.76m、Aさんの位置からネットまでの高さが1.55mであるとき、シャトルの軌道と床のなす角 $\theta$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

バドミントンのスマッシュの練習をしているAさんが、ネットから4m離れた位置から打ったシャトルがネットに当たってしまった。打点Pの高さが2.55m、ネットの高さが0.76m、Aさんの位置からネットまでの高さが1.55mであるとき、シャトルの軌道と床のなす角 $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、シャトルがネットを越えるための $\theta$ の条件を求めます。

水平距離4m、高さの差 $(0.76 - 1.55) = -0.79$ mの地点を結ぶ直線の傾きを考えます。

この時の角度 $\theta_1$ は、 $\tan \theta_1 = \frac{2.55-1.55}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$ と表せる。

三角比の表から $\tan^{-1}(0.25) \approx 14.04^{\circ}$　よって $\theta > 14.04^{\circ}$

次に、シャトルがネットに当たるギリギリの時の$\theta$を求めます。

この時の角度 $\theta_2$ は、 $\tan \theta_2 = \frac{0.76-1.55}{4} = \frac{-0.79}{4} = -0.1975$ となります。

しかし、角度は正で考えるため、ネットに当たるギリギリの時の$\theta$は存在しないことがわかります。

ネットに当たってしまったので、$\theta$は$\tan \theta = \frac{2.55 - 0.76}{4} = \frac{1.79}{4} = 0.4475$を満たすより小さい角度でなければならない。

したがって、$\theta < tan^{-1}(0.4475) = 24.1^{\circ}$

したがって、シャトルがネットに当たり、相手コートに入らない$\theta$の範囲は、$14.04^{\circ} \le \theta \le 24.1^{\circ}$の範囲で整数とすると $15^{\circ} \le \theta \le 24^{\circ}$

3. 最終的な答え

$15^{\circ} \le \theta \le 24^{\circ}$