問題は、双曲線上の点 $P(p, q)$ に関する面積 $S$ を扱う問題の一部です。与えられた条件は、$a > 0$, $b > 0$, $p > 0$, $q > 0$ であり、$S = \frac{|a^2q^2 - b^2p^2|}{2ab}$ です。また、$P(p, q)$ は双曲線 $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ 上の点であるという条件があります。与えられた情報から、$a^2q^2 - b^2p^2 = -a^2b^2$ が導かれ、さらに $|-a^2b^2| > 0$ が示されています。

1. 問題の内容

問題は、双曲線上の点 $P(p, q)$ に関する面積 $S$ を扱う問題の一部です。与えられた条件は、$a > 0$, $b > 0$, $p > 0$, $q > 0$ であり、$S = \frac{|a^2q^2 - b^2p^2|}{2ab}$ です。また、$P(p, q)$ は双曲線 $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ 上の点であるという条件があります。与えられた情報から、$a^2q^2 - b^2p^2 = -a^2b^2$ が導かれ、さらに $|-a^2b^2| > 0$ が示されています。

2. 解き方の手順

以下の手順で進めます。

(1) 双曲線上の点であるという条件 $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ を変形します。

両辺に $a^2b^2$ をかけると、$b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$ となります。

(2) これを移項すると、$a^2q^2 - b^2p^2 = -a^2b^2$ が得られます。

(3) この結果を面積の式 $S$ に代入します。

$S = \frac{|a^2q^2 - b^2p^2|}{2ab} = \frac{|-a^2b^2|}{2ab}$

(4) 絶対値を計算します。

$S = \frac{a^2b^2}{2ab}$

(5) 約分します。$a > 0$ と $b > 0$ より、

$S = \frac{ab}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{ab}{2}$