三角形ABCにおいて、以下の値を求めます。 (1) $b = 6$, $B = 30^\circ$, $C = 45^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。 (2) $c = 4$, $A = 120^\circ$, $B = 15^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の値を求めます。

(1) $b = 6$, $B = 30^\circ$, $C = 45^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。

(2) $c = 4$, $A = 120^\circ$, $B = 15^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を使って、$c$ を求めます。正弦定理は $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ です。

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{6}{1/2} = \frac{c}{\sqrt{2}/2}$

$12 = \frac{2c}{\sqrt{2}}$

$c = 6\sqrt{2}$

(2) まず、角 $C$ を求めます。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - A - B$ です。

$C = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$

正弦定理を使って、$a$ を求めます。正弦定理は $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ です。

$\frac{a}{\sin 120^\circ} = \frac{4}{\sin 45^\circ}$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{a}{\sqrt{3}/2} = \frac{4}{\sqrt{2}/2}$

$\frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $c = 6\sqrt{2}$

(2) $a = 2\sqrt{6}$