$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、以下の値を求めます。 (1) $\triangle ABC$ の面積 (2) 辺 $BC$ の長さ

1. 問題の内容

$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、以下の値を求めます。

(1) $\triangle ABC$ の面積

(2) 辺 $BC$ の長さ

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ は、以下の公式で計算できます。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A$

与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 辺 $BC$ の長さを求めるには、余弦定理を使用します。余弦定理は以下のように表されます。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

与えられた値を代入すると、

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$BC^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

したがって、$BC = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC$ の面積: $3\sqrt{3}$

(2) 辺 $BC$ の長さ: $\sqrt{13}$