$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$として、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$として、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$C$と$D$の位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

$C$は辺$OA$を$3:2$に内分する点なので、

$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{a}$

$D$は辺$OB$を$1:2$に内分する点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{b}$

次に、点$P$が線分$AD$上にあることから、$AD$を$s:(1-s)$に内分すると考えると、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$ ...(1)

また、点$P$が線分$BC$上にあることから、$BC$を$t:(1-t)$に内分すると考えると、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{5}\vec{a}$ ...(2)

(1)と(2)は同じベクトルを表すので、係数を比較して、

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = 3(1-t)$を$1-s = \frac{3t}{5}$に代入すると、

$1 - 3(1-t) = \frac{3t}{5}$

$1 - 3 + 3t = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

これを$\vec{OP}$の式(2)に代入して、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{6})\vec{b} + \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{6}\vec{a} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$