平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $AD = 3$, $\angle BAD = 60^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $AD = 3$, $\angle BAD = 60^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って、$\triangle ABD$において、$AC^2$を計算します。余弦定理は、三角形の2辺の長さとその間の角の余弦がわかれば、残りの1辺の長さを求めることができる定理です。

$\triangle ABC$ において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

平行四辺形なので、$BC = AD = 3$ です。$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$です。したがって、

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$AC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 25 + 12$

$AC^2 = 37$

$AC = \sqrt{37}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{37}$