2点A(-2, 5), B(4, 0)と$y$軸上を動く点Pがある。$AP^2 + BP^2$が最小になるような点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(-2, 5), B(4, 0)と$y$軸上を動く点Pがある。$AP^2 + BP^2$が最小になるような点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pは$y$軸上にあるので、Pの座標を(0, $y$)とおく。

$AP^2$と$BP^2$を計算する。

$AP^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 4 + 25 - 10y + y^2 = y^2 - 10y + 29$

$BP^2 = (4 - 0)^2 + (0 - y)^2 = 16 + y^2 = y^2 + 16$

$AP^2 + BP^2$を計算する。

$AP^2 + BP^2 = (y^2 - 10y + 29) + (y^2 + 16) = 2y^2 - 10y + 45$

$AP^2 + BP^2$を最小にする$y$の値を求めるために、平方完成を行う。

$2y^2 - 10y + 45 = 2(y^2 - 5y) + 45 = 2(y^2 - 5y + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) + 45 = 2(y - \frac{5}{2})^2 - 2(\frac{25}{4}) + 45 = 2(y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + \frac{90}{2} = 2(y - \frac{5}{2})^2 + \frac{65}{2}$

$2(y - \frac{5}{2})^2 + \frac{65}{2}$ は $y = \frac{5}{2}$ のとき最小値$\frac{65}{2}$をとる。

したがって、点Pの座標は(0, $\frac{5}{2}$)である。

3. 最終的な答え

(0, 5/2)