2点A(2, 1), B(-3, 4)に対し、線分ABを2:3の比に内分する点をP、線分ABを3:1の比に内分する点をQとする。ベクトル$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表し、点P, Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(2, 1), B(-3, 4)に対し、線分ABを2:3の比に内分する点をP、線分ABを3:1の比に内分する点をQとする。ベクトル$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表し、点P, Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、内分点の公式を用いて$\overrightarrow{OP}$と$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表します。

線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{OP}$は、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m+n}$$

で与えられます。

点Pは線分ABを2:3に内分するので、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+3} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{5} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$$

点Qは線分ABを3:1に内分するので、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{3+1} = \frac{\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{4} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$$

次に、$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$を代入して、点Pと点Qの座標を計算します。

$$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{2}{5}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{6}{5} \\ \frac{8}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{11}{5} \end{pmatrix}$$

したがって、点Pの座標は$(0, \frac{11}{5})$です。

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{3}{4}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{4} \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{9}{4} \\ \frac{12}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{4} \\ \frac{13}{4} \end{pmatrix}$$

したがって、点Qの座標は$(-\frac{7}{4}, \frac{13}{4})$です。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$

点Pの座標: $(0, \frac{11}{5})$

点Qの座標: $(-\frac{7}{4}, \frac{13}{4})$