以下の3つの直線について、媒介変数表示を求めます。 (1) 点 $(2, 1)$ を通り、方向ベクトルが $(3, 4)$ の直線 (2) 点 $(3, -2)$ を通り、方向ベクトルが $(0, 5)$ の直線 (3) 2点 $A(4, 3)$, $B(7, 2)$ を通る直線

1. 問題の内容

以下の3つの直線について、媒介変数表示を求めます。

(1) 点 $(2, 1)$ を通り、方向ベクトルが $(3, 4)$ の直線

(2) 点 $(3, -2)$ を通り、方向ベクトルが $(0, 5)$ の直線

(3) 2点 $A(4, 3)$, $B(7, 2)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 点 $(2, 1)$ を通り、方向ベクトルが $(3, 4)$ の直線

直線の媒介変数表示は、点 $(x_0, y_0)$ を通り、方向ベクトルが $(\vec{v_x}, \vec{v_y})$ であるとき、以下のように表されます。

$x = x_0 + t\vec{v_x}$

$y = y_0 + t\vec{v_y}$

この問題の場合、$x_0 = 2$, $y_0 = 1$, $\vec{v_x} = 3$, $\vec{v_y} = 4$なので、

$x = 2 + 3t$

$y = 1 + 4t$

(2) 点 $(3, -2)$ を通り、方向ベクトルが $(0, 5)$ の直線

同様に、この問題の場合、$x_0 = 3$, $y_0 = -2$, $\vec{v_x} = 0$, $\vec{v_y} = 5$なので、

$x = 3 + 0t = 3$

$y = -2 + 5t$

(3) 2点 $A(4, 3)$, $B(7, 2)$ を通る直線

2点 $A(4, 3)$, $B(7, 2)$ を通る直線の方向ベクトルは、$\vec{AB} = (7-4, 2-3) = (3, -1)$です。

点 $A(4, 3)$ を通るとして、媒介変数表示は、

$x = 4 + 3t$

$y = 3 - t$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 + 3t$

$y = 1 + 4t$

(2) $x = 3$

$y = -2 + 5t$

(3) $x = 4 + 3t$

$y = 3 - t$