平行四辺形ABCDにおいて、以下の等式が成り立つことを証明します。 $|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、以下の等式が成り立つことを証明します。

$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考えます。

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{d}$

とおきます。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

したがって、

$|AC|^2 = |\vec{AC}|^2 = |\vec{b} + \vec{d}|^2 = (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (\vec{b} + \vec{d}) = |\vec{b}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{d}|^2$

$|BD|^2 = |\vec{BD}|^2 = |\vec{d} - \vec{b}|^2 = (\vec{d} - \vec{b}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = |\vec{d}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{b}|^2$

$|AC|^2 + |BD|^2 = |\vec{b}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{d}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{b}|^2 + 2|\vec{d}|^2 = 2(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2)$

$2(|AB|^2 + |AD|^2) = 2(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2) = 2(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2)$

よって、$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$ が成り立つことが証明されました。