複素数平面上に3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(\gamma)$ があり、三角形ABCが正三角形であるとき、$\gamma$を求める問題です。 (1) $\alpha = \sqrt{3} + 2i$, $\beta = 10 + \sqrt{3} + 8i$ とするとき、$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ と $\gamma$ を $\alpha$ と $\beta$ で表す。 (2) $\gamma$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(\gamma)$ があり、三角形ABCが正三角形であるとき、$\gamma$を求める問題です。

(1) $\alpha = \sqrt{3} + 2i$, $\beta = 10 + \sqrt{3} + 8i$ とするとき、$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ と $\gamma$ を $\alpha$ と $\beta$ で表す。

(2) $\gamma$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 ABC が正三角形であることから、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は複素数平面上で $\beta$ を中心に$\alpha$を $\pm \frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点になります。したがって、

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\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \pm \frac{\pi}{3}

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また、

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\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \cos \left( \pm \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \pm \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}

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よって、

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\gamma - \alpha = \left( \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) (\beta - \alpha)

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(2) $\alpha = \sqrt{3} + 2i$, $\beta = 10 + \sqrt{3} + 8i$ より

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\beta - \alpha = (10 + \sqrt{3} + 8i) - (\sqrt{3} + 2i) = 10 + 6i

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したがって、

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\gamma - \alpha = \left( \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) (10 + 6i) = 5 \mp 3\sqrt{3} + i (3 \pm 5\sqrt{3})

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\gamma = (\sqrt{3} + 2i) + (5 \mp 3\sqrt{3} + i (3 \pm 5\sqrt{3})) = (5-2\sqrt{3}) + 5\sqrt{3}+ i (5 + 5\sqrt{3})

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正号をとると、

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\gamma = 5 - 2\sqrt{3} + i(5 + 5\sqrt{3})

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負号をとると、

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\gamma = 5 + 4\sqrt{3} + i(5 - 3\sqrt{3})

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3. 最終的な答え

(1) $\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \pm \frac{\pi}{3}$

$\gamma - \alpha = \left( \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) (\beta - \alpha)$

(2) $\gamma = (5 - 2\sqrt{3}) + (5 + 5\sqrt{3})i$, $(5 + 4\sqrt{3}) + (5 - 3\sqrt{3})i$