三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=4, b=3, c=2$ であるとき、この三角形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=4, b=3, c=2$ であるとき、この三角形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ヘロンの公式を用いる。まず、半周長 $s$ を計算する。

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$

与えられた辺の長さを代入すると、

$$s = \frac{4+3+2}{2} = \frac{9}{2}$$

次に、ヘロンの公式を用いて面積 $S$ を計算する。

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

$s = \frac{9}{2}, a=4, b=3, c=2$ を代入する。

$$S = \sqrt{\frac{9}{2} \left(\frac{9}{2}-4\right) \left(\frac{9}{2}-3\right) \left(\frac{9}{2}-2\right)}$$

$$S = \sqrt{\frac{9}{2} \left(\frac{9-8}{2}\right) \left(\frac{9-6}{2}\right) \left(\frac{9-4}{2}\right)}$$

$$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}$$

$$S = \sqrt{\frac{9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}{16}}$$

$$S = \sqrt{\frac{135}{16}}$$

$$S = \frac{\sqrt{135}}{4}$$

$$S = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4}$$

$$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$