三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=3$, $\angle A = 120^\circ$とする。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとする。線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=3$, $\angle A = 120^\circ$とする。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとする。線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle A$の二等分線であるADは、$\angle BAD = \angle CAD = 60^\circ$となる。

三角形ABCの面積を$S_{ABC}$とすると、

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$が成り立つ。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

ADの長さを$x$とすると、

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 5x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}x}{4}$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}x}{4}$

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$より、

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}x}{4} + \frac{3\sqrt{3}x}{4}$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}x}{4}$

$15\sqrt{3} = 8\sqrt{3}x$

$x = \frac{15\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{15}{8}$

3. 最終的な答え

線分ADの長さは$\frac{15}{8}$