点Oを中心とする半径5の円の内部に点Pがある。点Pを通る弦ABに対して、$PA \cdot PB = 21$ が成り立つとき、線分OPの長さを求める。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径5の円の内部に点Pがある。点Pを通る弦ABに対して、$PA \cdot PB = 21$ が成り立つとき、線分OPの長さを求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。点Pを通り、円の中心Oを通る直線を考える。この直線と円の交点をC, Dとする（PはCとOの間にあるとする）。このとき、$PC = OC - OP = 5 - OP$、$PD = OD + OP = 5 + OP$ となる。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ であるから、

$21 = (5 - OP)(5 + OP)$

$21 = 25 - OP^2$

$OP^2 = 25 - 21 = 4$

$OP = \sqrt{4} = 2$

線分の長さは正なので、$OP = 2$。

3. 最終的な答え

線分OPの長さは2である。