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三角形ABCにおいて、AB = 7, BC = 6, CA = 5である。角Aの二等分線とBCの交点をD、角Bの二等分線とADの交点をIとする。このとき、BDとAI:IDの値を求める。

幾何学三角形角の二等分線比幾何
2025/5/23

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 7, BC = 6, CA = 5である。角Aの二等分線とBCの交点をD、角Bの二等分線とADの交点をIとする。このとき、BDとAI:IDの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBDの長さを求める。
角Aの二等分線は、BCをAB:ACの比に分ける。
したがって、BD:DC=AB:AC=7:5BD:DC = AB:AC = 7:5である。
また、BC=BD+DC=6BC = BD + DC = 6であるから、
BD=6×77+5=6×712=72=3.5BD = 6 \times \frac{7}{7+5} = 6 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{2} = 3.5となる。
次に、AI:IDを求める。
角Bの二等分線に着目し、三角形ABDにおいて角Bの二等分線がADをAI:IDに分割する。角の二等分線の性質より、AI:ID=BA:BDAI:ID = BA:BD。
BA=7BA=7、BD=3.5BD=3.5なので、AI:ID=7:3.5=2:1AI:ID = 7:3.5 = 2:1となる。

3. 最終的な答え

BD=72BD = \frac{7}{2}
AI:ID=2:1AI:ID = 2:1

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