三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。 (1) ベクトルOPをベクトルOA、ベクトルOBで表せ。 (2) 線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA、ベクトルOBで表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。

(1) ベクトルOPをベクトルOA、ベクトルOBで表せ。

(2) 線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA、ベクトルOBで表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは線分BC上にあるので、$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OC}$ と表せる。

ここで、$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA}$なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + \frac{2s}{5}\overrightarrow{OA}$ …(1)

点Pは線分DE上にあるので、$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OD} + t\overrightarrow{OE}$ と表せる。

ここで、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + t(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2t}{3}\overrightarrow{OA} + (\frac{1-t}{2} + \frac{t}{3})\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2t}{3}\overrightarrow{OA} + (\frac{3-3t+2t}{6})\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2t}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{3-t}{6}\overrightarrow{OB}$ …(2)

(1)と(2)を比較して、

$\frac{2s}{5} = \frac{2t}{3}$ …(3)

$1-s = \frac{3-t}{6}$ …(4)

(3)より、$s = \frac{5t}{3}$

(4)に代入して、$1-\frac{5t}{3} = \frac{3-t}{6}$

$6 - 10t = 3 - t$

$3 = 9t$

$t = \frac{1}{3}$

$s = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}$

(1)に代入して、$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{5}{9})\overrightarrow{OB} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{4}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{9}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{9}\overrightarrow{OB}$

(2) 点Qは線分AB上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB}$ と表せる。

点Qは線分OPの延長上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$と表せる。

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{9}\overrightarrow{OB}$なので、

$\overrightarrow{OQ} = k(\frac{2}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{9}\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{2k}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4k}{9}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OQ} = \frac{2k}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4k}{9}\overrightarrow{OB}$を比較して、

$1-u = \frac{2k}{9}$ …(5)

$u = \frac{4k}{9}$ …(6)

(5)+(6)より、$1 = \frac{6k}{9}$

$1 = \frac{2k}{3}$

$k = \frac{3}{2}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{9}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$