三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、以下の比を求める。 (1) BP:PC (2) AO:OP (3) 三角形OBPの面積:三角形ABCの面積

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、以下の比を求める。

(1) BP:PC

(2) AO:OP

(3) 三角形OBPの面積:三角形ABCの面積

2. 解き方の手順

(1) BP:PCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である。AR:RB=2:1、CQ:QA=3:4なので、$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$を代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

よって、BP:PC = 2:3

(2) AO:OPを求める。

メネラウスの定理を三角形ABPCと直線ROに適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$、$\frac{QC}{CA}=\frac{3}{7}$なので、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{3}{7} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{7}{6}$

よって、BO:OQ = 7:6

メネラウスの定理を三角形BCRと直線PAに適用すると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$, $\frac{AR}{CA} = \frac{2}{2+1} \frac{7}{4+3} = \frac{7}{3}$、なので、$\frac{CA}{AR} = \frac{7}{4}$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

チェバの定理を三角形ABCに適用したときにOを定点と考えると

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線AOに適用すると

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OR} = 1$

$\frac{CP}{PB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{7} = 1$

$\frac{AP}{PO} \cdot \frac{OB}{BQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$ から $\frac{AO}{OP}$ を求めるために、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QB}{BO} \cdot \frac{OP}{PA} = 1$

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{AO}{OP}=1$

$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BC}{CP}\cdot\frac{PO}{OA}=1$

三角形ABCにチェバの定理を用いる。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$

三角形BPCに直線AOを適用しメネラウスの定理を用いる。

$\frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

$\frac{AC}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{CO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} \cdot \frac{AP}{PC}=1$

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RA}{AB}=1$

ここで、AO:OPを求める。三角形ABCにチェバの定理を適用すると、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$なので、$\frac{2}{1}\cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$より、$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$となる。

次に、三角形BPCに直線AOを適用してメネラウスの定理を適用すると、$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$なので、

$\frac{BO}{OQ} = \frac{7}{6}$

(3) 三角形OBPの面積を求める。

$\frac{BP}{BC} = \frac{2}{5}$なので、$\triangle ABP = \frac{2}{5} \triangle ABC$

$\frac{BO}{BQ} = \frac{7}{13}$なので、$\triangle OBP = \frac{BO}{BQ} \triangle BPQ = \frac{BO}{BQ} (\triangle ABQ - \triangle ABO)$

3. 最終的な答え

(1) BP:PC = 2:3

(2) AO:OP = 5:3

(3) 三角形OBPの面積:三角形ABCの面積 = 14:65