円 $x^2 + y^2 = 4$ と円 $(x-4)^2 + y^2 = 1$ の両方に接する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と円 $(x-4)^2 + y^2 = 1$ の両方に接する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、求める直線の式を $y = mx + n$ とおく。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 4$ に接するためには、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + n = 0$ との距離が円の半径 $2$ に等しい必要がある。したがって、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m \cdot 0 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$|n| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$n^2 = 4(m^2 + 1)$

$n^2 = 4m^2 + 4$ ... (1)

次に、この直線が円 $(x-4)^2 + y^2 = 1$ に接するためには、円の中心 $(4, 0)$ と直線 $mx - y + n = 0$ との距離が円の半径 $1$ に等しい必要がある。したがって、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m \cdot 4 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|4m + n| = \sqrt{m^2 + 1}$

$(4m + n)^2 = m^2 + 1$

$16m^2 + 8mn + n^2 = m^2 + 1$

$15m^2 + 8mn + n^2 = 1$ ... (2)

(2) に (1) を代入すると、

$15m^2 + 8mn + 4m^2 + 4 = 1$

$19m^2 + 8mn + 3 = 0$

$8mn = -19m^2 - 3$

$n = -\frac{19m^2 + 3}{8m}$ (ただし、$m \neq 0$)

(1) に代入して整理すると、

$\left(-\frac{19m^2 + 3}{8m}\right)^2 = 4m^2 + 4$

$\frac{(19m^2 + 3)^2}{64m^2} = 4m^2 + 4$

$(19m^2 + 3)^2 = 64m^2 (4m^2 + 4)$

$361m^4 + 114m^2 + 9 = 256m^4 + 256m^2$

$105m^4 - 142m^2 + 9 = 0$

$(15m^2 - 1)(7m^2 - 9) = 0$

$m^2 = \frac{1}{15}$ または $m^2 = \frac{9}{7}$

$m = \pm\frac{1}{\sqrt{15}}$ または $m = \pm\frac{3}{\sqrt{7}}$

$m = \frac{1}{\sqrt{15}}$ のとき、(1)より、$n^2 = 4(\frac{1}{15} + 1) = 4 \cdot \frac{16}{15} = \frac{64}{15}$ より、$n = \pm \frac{8}{\sqrt{15}}$.

$m = -\frac{1}{\sqrt{15}}$ のとき、(1)より、$n^2 = 4(\frac{1}{15} + 1) = \frac{64}{15}$ より、$n = \pm \frac{8}{\sqrt{15}}$.

$m = \frac{3}{\sqrt{7}}$ のとき、(1)より、$n^2 = 4(\frac{9}{7} + 1) = 4 \cdot \frac{16}{7} = \frac{64}{7}$ より、$n = \pm \frac{8}{\sqrt{7}}$.

$m = -\frac{3}{\sqrt{7}}$ のとき、(1)より、$n^2 = 4(\frac{9}{7} + 1) = \frac{64}{7}$ より、$n = \pm \frac{8}{\sqrt{7}}$.

$m = \frac{1}{\sqrt{15}}$ のとき、(2) に代入すると、$15(\frac{1}{15}) + 8(\frac{1}{\sqrt{15}})n + n^2 = 1$ つまり $8(\frac{1}{\sqrt{15}})n + n^2 = 0$ だから、$n = 0$ または $n = -\frac{8}{\sqrt{15}}$. $n=0$ は (1)を満たさないので、$n=-\frac{8}{\sqrt{15}}$

$m = \pm\frac{1}{\sqrt{15}}, n = \pm \frac{8}{\sqrt{15}}$ (複合任意)

$x$軸に平行な接線もある。

円 $x^2 + y^2 = 4$ の $y=2$ および $y=-2$.

円 $(x-4)^2 + y^2 = 1$ の $y=1$ および $y=-1$.

$x$軸に平行な接線は存在しない。

$y = 2$は円$x^2 + y^2 = 4$に接しているが円$(x-4)^2 + y^2 = 1$には接していない.

接線は $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

$3x + 4y - 25 = 0$

3. 最終的な答え

$x=2$, $3x+4y-25=0$

$y = -(\frac{3}{\sqrt{7}})x \pm (\frac{8}{\sqrt{7}})$

または $y= \frac{1}{\sqrt{15}}x \pm \frac{8}{\sqrt{15}}$

簡略化された答え:

$x=2$, $3x+4y-25=0$