楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点P(X, Y)から楕円に2本の接線を引く。これらの接線が直交するような点Pの軌跡を求める。接線の傾きを$m$とおくと、接線の方程式は $y-Y = m(x-X)$ と表せる。この接線の方程式を楕円の方程式に代入して$x$の2次方程式にすると、$(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ となる。なぜ接線の方程式①が楕円の接線であることと、上記の$x$に関する2次方程式②が重解をもつことが同値なのか？

はい、承知いたしました。問題文の画像を拝見しました。問題は楕円の外の点から引いた接線に関する軌跡を求める問題のようです。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点P(X, Y)から楕円に2本の接線を引く。これらの接線が直交するような点Pの軌跡を求める。接線の傾きを$m$とおくと、接線の方程式は $y-Y = m(x-X)$ と表せる。この接線の方程式を楕円の方程式に代入して$x$の2次方程式にすると、$(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ となる。なぜ接線の方程式①が楕円の接線であることと、上記の$x$に関する2次方程式②が重解をもつことが同値なのか？

2. 解き方の手順

ポイントは、接線の方程式を楕円の方程式に代入して得られた2次方程式が、

　　$x$ の 2 次方程式としてどのような意味を持っているか理解することです。

Step 1: 接線の方程式を楕円の方程式に代入

楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に、接線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ すなわち $y = m(x-X) + Y$ を代入します。

すると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{(m(x-X) + Y)^2}{16} = 1$

となります。

Step 2: $x$に関する2次方程式に変形

これを整理すると、$x$に関する2次方程式の形になります。

$(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$

Step 3: 接線条件と重解の関係

直線が楕円の接線である必要十分条件は、この2次方程式が重解を持つことです。

なぜなら、接線は楕円と一点でのみ交わる直線であり、その交点のx座標が2次方程式の解に対応するからです。

接線は楕円と「接する」ので、接点における $x$ の値は 1 つに定まります。

そのため、2次方程式は重解をもつ必要があります。

Step 4: 解の公式との関連

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ です。

この判別式が 0 になるということは、$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b}{2a}$ となり、解が1つになる、つまり重解を持つことを意味します。

3. 最終的な答え

①が楕円の接線であることと、②が重解を持つことは同値である理由は、接線は楕円と一点のみを共有する直線であり、その共有点のx座標は楕円の方程式と接線の方程式を連立した2次方程式の解に対応するからです。接線の場合、この解は一つ（重解）になります。