縦が $x$ m、横が $y$ m の長方形の花壇に沿って幅 $a$ m の道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ であることを証明する。

1. 問題の内容

縦が $x$ m、横が $y$ m の長方形の花壇に沿って幅 $a$ m の道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

道の面積は、外側の長方形の面積から花壇の面積を引くことで求められる。

外側の長方形の縦の長さは $x + 2a$ m、横の長さは $y + 2a$ m である。

したがって、外側の長方形の面積は $(x+2a)(y+2a)$ m$^2$である。

花壇の面積は $xy$ m$^2$である。

道の面積 $S$ は、

$S = (x+2a)(y+2a) - xy$

$S = xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy$

$S = 2ax + 2ay + 4a^2$

次に、道の中央を通る線の長さ $l$ を求める。

道の中央を通る線の長さは、縦の長さが $x+a$ m、横の長さが $y+a$ m の長方形の周の長さである。

$l = 2(x+a) + 2(y+a)$

$l = 2x + 2a + 2y + 2a$

$l = 2x + 2y + 4a$

最後に、$S = al$ が成り立つことを示す。

$al = a(2x + 2y + 4a)$

$al = 2ax + 2ay + 4a^2$

これは、先ほど求めた $S$ と等しい。

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

道の面積 $S$ は $S = 2ax + 2ay + 4a^2$

道の中央を通る線の長さ $l$ は $l = 2x + 2y + 4a$

$S = al$ である。