座標平面上の楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ と直線 $y = -x - 1$ の2つの共有点を $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$（ただし $x_1 < x_2$）とする。 (1) $x_1$ の値を求めよ。 (2) 線分ABの長さを求めよ。 (3) 2点A, Bと異なる楕円上の点Cを考える。3点を頂点とする$\triangle ABC$の面積が最大となるのは、点Cの座標がどのようなときか求めよ。 (4) そのときの$\triangle ABC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ と直線 $y = -x - 1$ の2つの共有点を $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$（ただし $x_1 < x_2$）とする。

(1) $x_1$ の値を求めよ。

(2) 線分ABの長さを求めよ。

(3) 2点A, Bと異なる楕円上の点Cを考える。3点を頂点とする$\triangle ABC$の面積が最大となるのは、点Cの座標がどのようなときか求めよ。

(4) そのときの$\triangle ABC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 楕円と直線の交点を求める。

楕円の方程式 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ に $y = -x - 1$ を代入して、$x$ の方程式を解く。

$\frac{x^2}{2} + (-x - 1)^2 = 1$

$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$

$\frac{3}{2} x^2 + 2x = 0$

$3x^2 + 4x = 0$

$x(3x + 4) = 0$

$x = 0, -\frac{4}{3}$

$x_1 < x_2$ より、 $x_1 = -\frac{4}{3}$, $x_2 = 0$

(2) 線分ABの長さを求める。

$y_1 = -x_1 - 1 = -(-\frac{4}{3}) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

$y_2 = -x_2 - 1 = -0 - 1 = -1$

$A(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$, $B(0, -1)$

$AB = \sqrt{(0 - (-\frac{4}{3}))^2 + (-1 - \frac{1}{3})^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3) $\triangle ABC$の面積が最大となる点Cを求める。

$\triangle ABC$ の面積が最大となるのは、点Cが直線ABと平行な直線が楕円と接する点である。

直線ABの傾きは、$\frac{-1 - \frac{1}{3}}{0 - (-\frac{4}{3})} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = -1$ である。

したがって、点Cにおける接線の傾きが -1 である。

楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ を微分すると、

$\frac{2x}{2} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}$

$-\frac{x}{2y} = -1$

$x = 2y$

これを楕円の方程式に代入する。

$\frac{(2y)^2}{2} + y^2 = 1$

$\frac{4y^2}{2} + y^2 = 1$

$2y^2 + y^2 = 1$

$3y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{3}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $x = 2y = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $x = 2y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

直線 $y = -x - 1$ の上側にある点Cは $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ の方である。

よって、点Cの座標は ($\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$)

(4) $\triangle ABC$の面積を求める。

点C($\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$)と直線 $y = -x - 1$ （すなわち $x + y + 1 = 0$）の距離dは、

$d = \frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3} + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{12} + 2}{3} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{3}$

3. 最終的な答え

$x_1 = -\frac{4}{3}$

$AB = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$C = (\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

$\triangle ABC = \frac{2\sqrt{3} + 2}{3}$