一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問題を解く。 (1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。 (2) 正四面体OABCの高さを求める。 (3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x = OP$とおく。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口をLとする。LがTに含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。$x_1 \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、LとTの共通部分の長さを求める。正四面体OABCの表面でTに含まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問題を解く。

(1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。

(2) 正四面体OABCの高さを求める。

(3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x = OP$とおく。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口をLとする。LがTに含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。$x_1 \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、LとTの共通部分の長さを求める。正四面体OABCの表面でTに含まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正三角形の内接円の半径

正三角形ABCの一辺の長さが1であるとき、内接円の半径$r$は、

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) 正四面体の高さ

正四面体の高さを$h$とする。正四面体の頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、Hは三角形ABCの重心と一致する。AHの長さは、正三角形ABCの外接円の半径に等しい。外接円の半径は、内接円の半径の2倍であるから、

$AH = 2r = \frac{\sqrt{3}}{3}$

三角形OAHは直角三角形なので、三平方の定理より

$h^2 + AH^2 = OA^2$

$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{1}{3} = 1$

$h^2 = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) 切り口LがTに含まれる条件

Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口Lは線分になる。

$OP=x$のとき、$L$は$AB$に平行な線分で、その長さは$x$である。

また、Pから$AB$に下ろした垂線の足をHとすると、三角形OABの$AB$からの高さは$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$x_1 \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、$L$と$T$の共通部分は、Pを通る円柱と側面OABの交線である。

この問題はかなり難しいので、部分的に解くことにする。

$x_1$について。Pを通り、底面ABCに平行な平面でOABを切った切り口Lが、円柱Tに含まれる条件を考える。Lは線分であり、その長さは$x$である。線分Lが円柱Tに含まれるためには、線分Lが底面ABCの内接円を底面とする円柱に含まれている必要がある。したがって、円柱の半径は$r=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

切り口Lと点Oの距離は、$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{3}$