$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ の中点を $M$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とする。線分 $CM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ として、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とするとき、$AQ:QB$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ の中点を $M$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とする。線分 $CM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ として、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とするとき、$AQ:QB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $C$、 $D$、 $M$ の位置ベクトルを $\vec{a}$、 $\vec{b}$ で表す。

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

次に、点 $P$ が線分 $CM$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OC} + s\vec{OM} = (1-s)\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} + s\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{2(1-s)}{3}\vec{a} + (\frac{1-s}{3} + \frac{s}{2})\vec{b} = \frac{2(1-s)}{3}\vec{a} + \frac{2+s}{6}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ が線分 $BD$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD} = (1-t)\vec{b} + t\frac{2}{5}\vec{a} = \frac{2t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{2(1-s)}{3} = \frac{2t}{5}$、$\frac{2+s}{6} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$5(1-s) = 3t$、 $2+s = 6(1-t)$

$5 - 5s = 3t$、 $2+s = 6 - 6t$

$5s + 3t = 5$、 $s + 6t = 4$

$10s + 6t = 10$、 $s + 6t = 4$

$9s = 6$

$s = \frac{2}{3}$

$s + 6t = 4$ に代入すると

$\frac{2}{3} + 6t = 4$

$6t = \frac{10}{3}$

$t = \frac{5}{9}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{2(\frac{5}{9})}{5}\vec{a} + (1-\frac{5}{9})\vec{b} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2)

点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}) = \frac{2k}{9}\vec{a} + \frac{4k}{9}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $l$ を用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{2k}{9} = 1-l$、 $\frac{4k}{9} = l$

この連立方程式を解く。

$\frac{2k}{9} + \frac{4k}{9} = 1$

$\frac{6k}{9} = 1$

$k = \frac{3}{2}$

$l = \frac{4k}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$

したがって、$\vec{OQ} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{AQ} = \vec{OQ} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{QB} = \vec{OB} - \vec{OQ} = \vec{b} - (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{AQ} = 2\vec{QB}$ なので、$AQ:QB = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2) $AQ:QB = 2:1$