一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問いに答える。 (1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。 (2) 正四面体OABCの高さを求める。 (3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x=OP$とおく。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口を$L$とする。$L$が円柱$T$に含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。$\frac{x_1 \leq x \leq \sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さを求める。正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問いに答える。

(1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。

(2) 正四面体OABCの高さを求める。

(3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x=OP$とおく。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口を$L$とする。$L$が円柱$T$に含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。$\frac{x_1 \leq x \leq \sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さを求める。正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 底面ABCは正三角形なので、$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) 正四面体の高さ$h$は、$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$L$と$T$の共通部分の長さを求める。

$T$は半径$\frac{\sqrt{3}}{6}$の円柱である。

$\frac{x_1 \leq x \leq \sqrt{3}}{2}$のとき、$L$の長さは$1-x\frac{2}{\sqrt{3}}$である。

$1-x\frac{2}{\sqrt{3}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、共通部分は$\frac{\sqrt{3}}{3}$である。

$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$1-x\frac{2}{\sqrt{3}}=0$

正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{x_1 \leq x \leq \sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さは$\frac{\sqrt{3}}{3}$

正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積は$\frac{\pi}{12}$