$\theta$が鋭角で、$\sin \theta = \frac{4}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$が鋭角で、$\sin \theta = \frac{4}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係を利用する。

$\sin \theta = \frac{4}{5}$を代入すると、

$$(\frac{4}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{16}{25} + \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。したがって、

$$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

$\tan \theta$は、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$で求められる。

$$\tan \theta = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{3}{5}$, $\tan \theta = \frac{4}{3}$