半径8の円Cと半径2の円C'が外接している。共通接線lとC, C'の接点をそれぞれP, Qとする。O, O'を通る直線とlとの交点をRとする。 (1) PQの長さを求める。 (2) PRをPQを用いて表す。

1. 問題の内容

半径8の円Cと半径2の円C'が外接している。共通接線lとC, C'の接点をそれぞれP, Qとする。O, O'を通る直線とlとの交点をRとする。

(1) PQの長さを求める。

(2) PRをPQを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

O'からOPに下ろした垂線の足をHとする。

すると、三角形OO'Hは直角三角形であり、

$OO' = 8 + 2 = 10$

$OH = 8 - 2 = 6$

三平方の定理より、

$O'H^2 = OO'^2 - OH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$O'H = 8$

$PQ = O'H = 8$

(2)

三角形ORPと三角形O'RQは相似である。

$OP = 8$, $O'Q = 2$より、相似比は$8:2 = 4:1$

したがって、$OR : O'R = 4:1$

$OO' = 10$なので、$OR = \frac{4}{3}OO' = \frac{4}{3} \times 10 = \frac{40}{3}$

$O'R = \frac{1}{3}OO' = \frac{1}{3} \times 10 = \frac{10}{3}$

また、$PR : QR = 4:1$なので、$PR = 4QR$

ここで、PQ = PR + RQ　より　$PQ = PR + \frac{1}{4}PR = \frac{5}{4}PR$

よって、$PR = \frac{4}{5}PQ = \frac{4}{5} \times 8 = \frac{32}{5} = 6.4$

$PR = \frac{4}{5}PQ$

3. 最終的な答え

(1) PQの長さは8

(2) PR = 4/5 PQ = 32/5