一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問いに答える問題です。 (1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。 (2) 正四面体OABCの高さを求める。 (3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x=OP$とする。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口を$L$とする。$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。さらに、$x_1 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さと、正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積を求める。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCについて、以下の問いに答える問題です。

(1) 底面ABCの内接円の半径$r$を求める。

(2) 正四面体OABCの高さを求める。

(3) 辺ABの中点と頂点Oを結ぶ線分上に点Pをとり、$x=OP$とする。Pを通り底面ABCに平行な平面による側面OABの切り口を$L$とする。$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。さらに、$x_1 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さと、正四面体OABCの表面で$T$に含まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正三角形の内接円の半径を求める。正三角形の一辺の長さを$a$とすると、内接円の半径$r$は、$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$で与えられる。この問題では、$a=1$なので、$r = \frac{\sqrt{3}}{6}$となる。

(2) 正四面体の高さを求める。正四面体の高さを$h$とすると、$h = \sqrt{\frac{2}{3}}a$で与えられる。この問題では、$a=1$なので、$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$となる。

(3) $L$が$T$に含まれるような$x$の最大値$x_1$を求める。

点Pから底面ABCに下ろした垂線の足をHとする。また、ABの中点をMとすると、OMは高さとなり、$OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる。

$OP = x$なので、PHとABのなす角を$\theta$とすると、$PH = x\sin\theta$となる。$L$と$T$の共通部分が存在するためには、PHは内接円の半径$r$以下である必要がある。内接円の半径は$\frac{\sqrt{3}}{6}$なので、$x\sin\theta \le \frac{\sqrt{3}}{6}$となる。$\sin\theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$なので、$x\sqrt{\frac{2}{3}} \le \frac{\sqrt{3}}{6}$となる。したがって、$x \le \frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$となる。よって、$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$。

$x_1 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$L$と$T$の共通部分の長さを求める。

$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$のとき、$L$は点となり、$x$が増加するにつれて、$L$は線分として長くなる。この長さを$l$とすると、$l = 2\sqrt{r^2 - (x\sin\theta)^2} = 2\sqrt{\frac{1}{12} - \frac{2}{3}x^2}$となる。

正四面体OABCの表面でTに含まれる部分の面積を求める。

底面ABCの内接円の面積は$\pi r^2 = \pi (\frac{\sqrt{3}}{6})^2 = \frac{\pi}{12}$となる。

側面OAB, OBC, OCAについて考える。これらの面積は等しいので、OABについて考える。LはABに平行な線分なので、面積は0となる。したがって、正四面体OABCの表面でTに含まれる部分の面積は$\frac{\pi}{12}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $r = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) 正四面体OABCの高さは$\frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$x_1 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、LとTの共通部分の長さは$2\sqrt{\frac{1}{12} - \frac{2}{3}x^2}$

正四面体OABCの表面でTに含まれる部分の面積は$\frac{\pi}{12}$