原点をOとする。xy平面上の円 $x^2 + y^2 + 6x - 9y = 9$ 上を動く点Pに対して、線分OPを2:1に内分する点Qの軌跡の方程式を求める。点Pの座標を(s, t), 点Qの座標を(X, Y)とおく。まず、s, tをX, Yの式で表し、その後、点Qの軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする。xy平面上の円 $x^2 + y^2 + 6x - 9y = 9$ 上を動く点Pに対して、線分OPを2:1に内分する点Qの軌跡の方程式を求める。点Pの座標を(s, t), 点Qの座標を(X, Y)とおく。まず、s, tをX, Yの式で表し、その後、点Qの軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(5)

点Qは線分OPを2:1に内分するから、

$X = \frac{2s + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2s}{3}$

$Y = \frac{2t + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2t}{3}$

したがって、

$s = \frac{3}{2}X$

$t = \frac{3}{2}Y$

(6)

点P(s, t) は円 $x^2 + y^2 + 6x - 9y = 9$ 上の点なので、

$s^2 + t^2 + 6s - 9t = 9$ が成り立つ。

この式に $s = \frac{3}{2}X$ と $t = \frac{3}{2}Y$ を代入すると、

$(\frac{3}{2}X)^2 + (\frac{3}{2}Y)^2 + 6(\frac{3}{2}X) - 9(\frac{3}{2}Y) = 9$

$\frac{9}{4}X^2 + \frac{9}{4}Y^2 + 9X - \frac{27}{2}Y = 9$

両辺を $\frac{9}{4}$ で割ると、

$X^2 + Y^2 + 4X - 6Y = 4$

$(X^2 + 4X) + (Y^2 - 6Y) = 4$

$(X^2 + 4X + 4) + (Y^2 - 6Y + 9) = 4 + 4 + 9$

$(X+2)^2 + (Y-3)^2 = 17$

3. 最終的な答え

(5) $s = \frac{3}{2}X$, $t = \frac{3}{2}Y$

(6) $(X+2)^2 + (Y-3)^2 = 17$

または

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 17$