## 問題の解答

## 問題の解答

以下に、与えられた数学の問題に対する解答を示します。

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1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

1. 点A(3, 3), B(-1, 5)に対して、AP = BPを満たす点P(x, y)の軌跡を求める。

2. 点A(-2, 0), B(1, 0)に対して、AP : BP = 2 : 1を満たす点P(x, y)の軌跡を求める。

3. xy平面上の直線 $y = 2x + 4$ 上を動く点Pに対して、線分PQの中点が (5, 2)となる点Qの軌跡の方程式を求める。

4. 原点をOとする。xy平面上の円 $x^2 + y^2 + 6x - 9y = 9$ 上を動く点Pに対して、線分OPを2:1に内分する点Qの軌跡の方程式を求める。

5. $x, y$ が $t$ を用いて次のように表されているとき、$t$ が任意の実数値をとって動くとき、点P(x, y)の軌跡を求める。

* (7) $\begin{cases} x = -t + 3 \\ y = 2t - 1 \end{cases}$

* (8) $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = 3t^2 \end{cases}$

6. $k$ を実数の定数とする。xy平面上の放物線 $y = x^2 + 4kx + 2k^2 + 4k + 1$について、以下の問いに答えよ。

* (9) 頂点の座標を(X, Y)とおく。X, Yをそれぞれkの式で表せ。

* (10)頂点の軌跡の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. AP = BPの軌跡:**

* AP = BPは、点PがAとBから等距離にあることを意味します。これは、AとBを結ぶ線分の垂直二等分線です。

* A(3, 3)とB(-1, 5)の中点は $((3 - 1) / 2, (3 + 5) / 2) = (1, 4)$です。

* 線分ABの傾きは $(5 - 3) / (-1 - 3) = 2 / -4 = -1/2$です。

* 垂直二等分線の傾きは、$(-1/2)$の逆数の符号を変えたものなので、2です。

* 垂直二等分線の方程式は、$y - 4 = 2(x - 1)$ すなわち $y = 2x + 2$です。

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2. AP : BP = 2 : 1の軌跡:**

* AP : BP = 2 : 1は、点PがAとBからの距離の比が2 : 1であることを意味します。これはアポロニウスの円です。

* $AP = 2BP$ なので、$AP^2 = 4BP^2$となります。

* $AP^2 = (x + 2)^2 + y^2$

* $BP^2 = (x - 1)^2 + y^2$

* $(x + 2)^2 + y^2 = 4((x - 1)^2 + y^2)$

* $x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

* $x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

* $3x^2 - 12x + 3y^2 = 0$

* $x^2 - 4x + y^2 = 0$

* $(x - 2)^2 + y^2 = 4$

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3. 線分PQの中点が (5, 2)となる点Qの軌跡:**

* 点Pは直線 $y = 2x + 4$ 上にあるので、P(s, t)とすると $t = 2s + 4$。

* 点Q(X, Y)とすると、線分PQの中点は $((s + X) / 2, (t + Y) / 2)$。

* 中点が(5, 2)なので、$(s + X) / 2 = 5$ と $(t + Y) / 2 = 2$。

* したがって、$s = 10 - X$ と $t = 4 - Y$。

* $t = 2s + 4$ に代入すると、$4 - Y = 2(10 - X) + 4$。

* $4 - Y = 20 - 2X + 4$

* $Y = 2X - 20 + 4 - 4$

* $Y = 2X - 20$

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4. 線分OPを2:1に内分する点Qの軌跡:**

* 点P(s, t)は円 $x^2 + y^2 + 6x - 9y = 9$ 上にあるので、$s^2 + t^2 + 6s - 9t = 9$。

* 点Q(X, Y)は線分OPを2:1に内分するので、$X = (2 * 0 + 1 * s) / (2 + 1) = s / 3$ と $Y = (2 * 0 + 1 * t) / (2 + 1) = t / 3$。

* したがって、$s = 3X$ と $t = 3Y$。

* $s^2 + t^2 + 6s - 9t = 9$ に代入すると、$(3X)^2 + (3Y)^2 + 6(3X) - 9(3Y) = 9$。

* $9X^2 + 9Y^2 + 18X - 27Y = 9$

* $X^2 + Y^2 + 2X - 3Y = 1$

* $(X + 1)^2 + (Y - 3/2)^2 = 1 + 1 + 9/4 = 17/4$

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5. tを用いた軌跡:**

* (7) $\begin{cases} x = -t + 3 \\ y = 2t - 1 \end{cases}$

* $t = 3 - x$ を $y = 2t - 1$ に代入すると、$y = 2(3 - x) - 1 = 6 - 2x - 1 = -2x + 5$。

* (8) $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = 3t^2 \end{cases}$

* $t = (x - 1) / 2$ を $y = 3t^2$ に代入すると、$y = 3((x - 1) / 2)^2 = 3(x - 1)^2 / 4$。

* $y = (3/4)(x - 1)^2$。

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6. 放物線の頂点の軌跡:**

* $y = x^2 + 4kx + 2k^2 + 4k + 1$ を平方完成すると、

$y = (x + 2k)^2 - (2k)^2 + 2k^2 + 4k + 1 = (x + 2k)^2 - 4k^2 + 2k^2 + 4k + 1 = (x + 2k)^2 - 2k^2 + 4k + 1$。

* 頂点の座標は $(-2k, -2k^2 + 4k + 1)$ なので、$X = -2k$ と $Y = -2k^2 + 4k + 1$。

* $k = -X / 2$ を $Y$ に代入すると、$Y = -2(-X / 2)^2 + 4(-X / 2) + 1 = -2(X^2 / 4) - 2X + 1 = -X^2 / 2 - 2X + 1$。

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3. 最終的な答え

1. $y = 2x + 2$

2. $(x - 2)^2 + y^2 = 4$

3. $Y = 2X - 20$

4. $(X + 1)^2 + (Y - 3/2)^2 = 17/4$

5. (7) $y = -2x + 5$ (8) $y = (3/4)(x - 1)^2$

6. (9) $X = -2k$, $Y = -2k^2 + 4k + 1$ (10) $Y = -X^2 / 2 - 2X + 1$