xy平面上の点P(x, y)の軌跡を求める問題です。 (1) 点A(3, 3), B(-1, 5)に対して、AP = BPとなる点Pの軌跡を求めます。 (2) 点A(-2, 0), B(1, 0)に対して、AP : BP = 2 : 1となる点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

xy平面上の点P(x, y)の軌跡を求める問題です。

(1) 点A(3, 3), B(-1, 5)に対して、AP = BPとなる点Pの軌跡を求めます。

(2) 点A(-2, 0), B(1, 0)に対して、AP : BP = 2 : 1となる点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) AP = BPなので、$AP^2 = BP^2$が成り立ちます。

$AP^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$

$BP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = (x + 1)^2 + (y - 5)^2$

$AP^2 = BP^2$より、

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = (x + 1)^2 + (y - 5)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25$

$-6x - 6y + 18 = 2x - 10y + 26$

$8x - 4y = -8$

$2x - y = -2$

$y = 2x + 2$

(2) AP : BP = 2 : 1なので、AP = 2BPとなり、$AP^2 = 4BP^2$が成り立ちます。

$AP^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$AP^2 = 4BP^2$より、

$(x + 2)^2 + y^2 = 4((x - 1)^2 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$3x^2 - 12x + 3y^2 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 2$

(2) $(x - 2)^2 + y^2 = 4$