底面の半径が $a$ の直円柱がある。この直円柱を、底面の直径ABを含む底面と $\frac{\pi}{3}$ の角をなす平面で切る。このときできる2つの立体のうち、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $a$ の直円柱がある。この直円柱を、底面の直径ABを含む底面と $\frac{\pi}{3}$ の角をなす平面で切る。このときできる2つの立体のうち、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

直円柱を $x^2 + y^2 \leq a^2$ となるように座標を取り、切断された平面を $z = kx + l$ とおく。

平面は底面の直径ABを含むので、$x = 0$ のとき $z=0$ となる。したがって、$l=0$。

また、平面と底面のなす角が $\frac{\pi}{3}$ なので、$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = k$ となる。

よって、切断された平面は $z = \sqrt{3}x$ となる。

求める体積は、

$V = \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \sqrt{3}x \, dy \, dx$

$V = \sqrt{3} \int_{-a}^{a} x [y]_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$

$V = \sqrt{3} \int_{-a}^{a} 2x \sqrt{a^2 - x^2} dx$

ここで、$f(x) = 2x \sqrt{a^2 - x^2}$ とすると、$f(-x) = -2x \sqrt{a^2 - x^2} = -f(x)$ であるから、$f(x)$ は奇関数である。

したがって、$V = 0$ となる。

しかし、求めるべきは小さい方の立体の体積なので、

$V = \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \max(0, \sqrt{3}x) \, dy \, dx$

とするのではなく、

$V = \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} (-\sqrt{3}x) \, dy \, dx + \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \sqrt{3}x \, dy \, dx$

ではない。

$V = \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \sqrt{3}x \, dy \, dx = \sqrt{3} \int_{0}^{a} 2x \sqrt{a^2 - x^2} dx$

$t = a^2 - x^2$ とおくと、$dt = -2x dx$ であり、$x=0$ のとき $t=a^2$、$x=a$ のとき $t=0$。

$V = \sqrt{3} \int_{a^2}^{0} - \sqrt{t} dt = \sqrt{3} \int_{0}^{a^2} \sqrt{t} dt = \sqrt{3} [\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_0^{a^2} = \sqrt{3} \frac{2}{3} a^3 = \frac{2\sqrt{3}}{3} a^3$

求める体積は、この半分だから、$V = \frac{\sqrt{3}}{3} a^3$.

小さい方の立体の体積は、体積が負にならないように、$x<0$の時は$|\sqrt{3}x|$として積分する必要がある．

つまり、$x>0$ の場合は$\sqrt{3}x$、$x<0$ の場合は$-\sqrt{3}x$を積分する．

$V = \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \max(0, \sqrt{3}x) dy dx$ではない．

$V = \int_{-a}^{0} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} -\sqrt{3}x dy dx + \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \sqrt{3}x dy dx = 2\int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^2 - x^2}}^{\sqrt{a^2 - x^2}} \sqrt{3}x dy dx$.

$V = 2 \sqrt{3} \int_{0}^{a} 2x\sqrt{a^2-x^2} dx = 4 \sqrt{3} \int_{0}^{a} x \sqrt{a^2-x^2} dx = 4\sqrt{3}\frac{1}{3}a^3 = \frac{4\sqrt{3} a^3}{3}$.

小さい方の立体の体積なので、これは違う。

円柱の体積は $a^2 \pi h$ であり、hは平面で切断された高さの最大値であり、$2a\tan(\pi/3) = 2a\sqrt{3}$.

体積は、 $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$。

3. 最終的な答え

$V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^3$

または、$V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^3$

体積は $V = \frac{2\sqrt{3}}{3} a^3$.

$V= \frac{1}{3} (2\sqrt{2})a^3 = \frac{2}{3}\sqrt{2}a^3$

最終的な答え:

$\frac{2\sqrt{2}}{3}a^3$