$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の3つの問題について、指定された値を求める。 (1) $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$ のとき、$\cos^2 \theta$ と $\tan^2 \theta$ の値を求める。 (2) $3\sin \theta + 4\cos \theta = 5$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。 (3) $10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の3つの問題について、指定された値を求める。

(1) $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$ のとき、$\cos^2 \theta$ と $\tan^2 \theta$ の値を求める。

(2) $3\sin \theta + 4\cos \theta = 5$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

(3) $10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$ のとき、$\cos^2 \theta$ と $\tan^2 \theta$ の値を求める。

- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$。

- これを $\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$ に代入すると、$1 - \cos^2 \theta + \sin \theta = 1$。

- よって、$\sin \theta = \cos^2 \theta$。

- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\sin \theta = \cos^2 \theta$ を代入すると、$(\cos^2 \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$。

- $\cos^2 \theta = x$ とおくと、$x^2 + x - 1 = 0$。

- これを解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

- $\cos^2 \theta \ge 0$ より、$\cos^2 \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$。

- $\sin \theta = \cos^2 \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

- $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ であるので、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$。

- $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin \theta \ge 0$ である。

- $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})^2}{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

-よって、$\tan^2 \theta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

(2) $3\sin \theta + 4\cos \theta = 5$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

- 両辺を2乗すると、$9\sin^2 \theta + 24\sin \theta \cos \theta + 16\cos^2 \theta = 25$。

- $9\sin^2 \theta + 9\cos^2 \theta + 24\sin \theta \cos \theta + 7\cos^2 \theta = 25$

- $9(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 24\sin \theta \cos \theta + 7\cos^2 \theta = 25$

- $9 + 24\sin \theta \cos \theta + 7\cos^2 \theta = 25$

- $24\sin \theta \cos \theta + 7\cos^2 \theta = 16$

- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}$

- $3\sqrt{1-\cos^2 \theta} + 4\cos \theta = 5$

- $3\sqrt{1-\cos^2 \theta} = 5-4\cos \theta$

- $9(1-\cos^2 \theta) = (5-4\cos \theta)^2 = 25-40\cos \theta + 16\cos^2 \theta$

- $9-9\cos^2 \theta = 25-40\cos \theta + 16\cos^2 \theta$

- $0 = 25\cos^2 \theta -40\cos \theta +16 = (5\cos \theta -4)^2$

- $\cos \theta = \frac{4}{5}$

- $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

(3) $10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

- $\cos^2 \theta$ で割ると、$10 - 24\tan \theta - 5(1 + \tan^2 \theta) = 0$

- $10 - 24\tan \theta - 5 - 5\tan^2 \theta = 0$

- $5 - 24\tan \theta - 5\tan^2 \theta = 0$

- $5\tan^2 \theta + 24\tan \theta - 5 = 0$

- $(5\tan \theta - 1)(\tan \theta + 5) = 0$

- $\tan \theta = \frac{1}{5}$ または $\tan \theta = -5$

- $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\tan \theta$ はどちらの値も取りうる。

3. 最終的な答え

(1) $\cos^2 \theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $\tan^2 \theta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

(2) $\tan \theta = \frac{3}{4}$

(3) $\tan \theta = \frac{1}{5}, -5$