ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2$ を計算する。ベクトルの大きさの2乗は、ベクトル自身の内積で表せることを利用する。

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})$

内積の性質を用いて展開する。

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot (2\vec{b})) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ と $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$ であるから、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。 $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ なので、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 2^2 + 4(1) + 4(1^2) = 4 + 4 + 4 = 12$

したがって、

$|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a} + 2\vec{b}| = 2\sqrt{3}$