直角二等辺三角形 $ABC$ の直角の頂点 $A$ を通る直線に、頂点 $B$ と $C$ からそれぞれ垂線 $BD$ と $CE$ を引きます。このとき、 (1) $\triangle ABD \equiv \triangle CAE$ であることを証明しなさい。 (2) $BD + CE = DE$ であることを証明しなさい。

以下に、与えられた問題の解答を示します。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形 $ABC$ の直角の頂点 $A$ を通る直線に、頂点 $B$ と $C$ からそれぞれ垂線 $BD$ と $CE$ を引きます。このとき、

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle CAE$ であることを証明しなさい。

(2) $BD + CE = DE$ であることを証明しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$ と $\triangle CAE$ において、

* 仮定より、$AB = CA$ (直角二等辺三角形)

* $\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$ (垂線)

* $\angle BAD = 90^\circ - \angle CAE$ ($\angle BAC = 90^\circ$ より)

* $\angle ACE = 90^\circ - \angle CAE$ （$\triangle ACE$の内角の和は180度なので、$\angle CAE + \angle AEC + \angle ACE = 180^\circ$. $\angle AEC = 90^\circ$だから$\angle CAE + 90^\circ + \angle ACE = 180^\circ$. よって $\angle ACE = 90^\circ - \angle CAE$.)

* したがって、$\angle ABD = \angle ACE$

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle CAE$

(2) (1)より、$\triangle ABD \equiv \triangle CAE$ なので、$BD = AE$ かつ $AD = CE$ である。

また、$DE = AD + AE$ である。

よって、$DE = CE + BD$ より、$BD + CE = DE$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle CAE$ であることの証明：上記参照

(2) $BD + CE = DE$ であることの証明：上記参照